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ZFC集合论

时间 : 2023-08-31 21:53:45 来源:哔哩哔哩

(1) 外延公理(容积公理):一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有的元素相同,则它们是相等的。

(2)分离公理模式:“对任意集合X和任意对X的元素有定义的逻辑谓词P(z),存在集合Y,使z∈Y 当且仅当z∈X而且P(z)为真”也就是说:若X是一个集合,那么可以断定,Y={x∈X|P(x)}也是一个集合。

(3)配对公理:对任意a和b是对象,则存在一个集合{a,b},其仅有的元素是a和b。也就是说:我们可以用一个集合Z={X,Y}来表示任给的两个集合X,Y,称之为X与Y的无序对。


(相关资料图)

(4)并集公理:任给一族M,存在UM(称为M的并)它的元素恰好为M中所含元素的元素。也就是说:我们可以把族M的元素的元素汇集到一起,组成一个新集合。注:为了方便描述,定义族表示其元素全为集合的集合。

(5)幂集公理(子集之集公理):对任意集合X,存在集合P(X),它的元素恰好就是X的一切子集。也就是说:存在以已知集合的一切子集为元素的集合。

(6)无穷公理:存在归纳集。(存在一个集合,空集是其元素,且对其任意元素x,x+=x∪{x}也是其元素)也就是说,存在一集合x,它有无穷多元素。

(7)替换公理模式(置换公理):也就是说,对于任意的函数F(x),对于任意的集合T,当x属于T时,F(x)都有定义(ZF中唯一的对象是集合,所以F(x)必然是集合)成立的前提下,就一定存在一集合S,使得对于所有的x属于T,在集合S中都有一元素y,使y=F(x)。也就是说,由F(x)所定义的函数的定义域在T中的时候,那么它的值域可限定在S中。

(8)正则公理:也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质,例如,不允许出现x属于x的情况。准确的定义:“对任意非空集合x,x至少有一元素y使x∩y为空集。”以上8条公理组成了ZF公理系统,再加上选择公理,则组成了ZFC公理系统

(9)选择公理:也叫策梅洛公理,对于任意两两不交的集合族,存在集合C,使对所给的族中的每个集合X,集合X与C的交恰好只含一个元素

以上为ZF集合论中的各种公理

集合{}符号

给定任何集合A和任何集合B,A=B,当且仅当【给定任何集合中的元素x,x∈A当且仅当x∈B。】(这里的x是集合不是本质性的,但在ZF中所有东西都是集合

集合1 = { 集合2,集合3, ...}

例如 r = { { }, {{ }}, {{ },{{ }}} }

zf里只有空集和嵌套空集 其它集合均为各种空集的编号

a={∅}=1  b={{∅}}={1}=2  c={{∅},{{∅}}}={1,2}=3

r={1,2,3}={{∅},{{∅}},{{∅},{{∅}}}}

∈符号

集合S∈集合T

a∈b a属于b 集合a是集合b中的一个元素/子集

其它符号如∪,⊆,=……之类,由上面2个原始符号用公理推导出

ZFC集合论公理

【1】外延公理:

∀a∀b(∀t(t∈a↔t∈b)→a=b )

构建等号 =

(t属于a 当且仅当 t属于b) 所以 a=b

t在a中绑定t在b中,则a和b的元素相同

【2】空集存在公理:

∃s∀a(a∉s)

s=∅ 构建空集

对于所有可能的a a全都不属于是,s存在

所以r只能是空集

【3】无序对集存在公理:

∀a∀b∃s∀t(t∈s↔(t=a∨t=b))

构建不超过二元的无序集

( 存在s 以t为元素 ) 当且仅当 ( t是a或者b )

t在s里面,且a,b只能二选一 s当然只有2个元素

其中 s={a,b} 二元集合

一元:a=b时 s={a}

拿到上面新做好的空集∅

假设1 a=b=∅,S1={a}={∅}

假设2 a=∅,b= S1={∅},S2={a,b}={∅,{∅}}

重复假设1可得无数个一元集合 {∅},{{∅}},{{{∅}}} .....

重复假设2可得无数个二元集合 {∅,{∅,{∅}}},{{∅,{∅}},{∅}} ......

【4】并集存在公理:

∀a∃b∀x(x∈b↔∃y(x∈y∧y∈a))

构建∪符号

存在b以x为元素当且仅当存在y 以x为元素并且y属于a 

a的元素的元素是x,单独考察某个a。对于某a∃b和∃y是有些区别,y被y∈a所限制,y的个数=某a的元素个数y1~yn每个y对应一些元素x,而b没有被限制。无论假设几个b,b的元素都是一样的。所以b是唯一的,b的元素是所有x

例如 y1={x1,x2} y2={x3,x4} a={y1,y2}={ {x1,x2},{x3,x4} }

所以b={x1,x2,x3,x4}

写法∶广义并:b=∪a,b=∪{y1,y2},常规并:b=y1∪y2

建造完∪,就可以用之前的二元集合来创建二元以上的多元集合{x1,x2,x3,x4.....}

【5】子集公理|分离公理模式:

∀a∃s∀x(x∈s↔x∈a∧P(x))

用关系公式P表示集合,存在s以x为元素,当且仅当x属于a并且x满足P条件 ,x是a中所有满足P条件的元素 由于是充要推导 所以x也都属于s,s是a的子集 用P条件从a里分离出来

如此得到新的集合表示方法 r={x:P(x)∧(x∈a)},a可以是任意集合

x∈a可以隐含在P(x)里 r={x:P(x)}

例如交集,并集的定义

{x:x∈d ∧x∈c }= c∩d

{x:x∈d ∨x∈c }= c∪d

【6】幂集公理:

∀a∃p∀b(b∈p↔∀t(t∈b→t∈a))

构建幂集,(存在p 以b为元素) 当且仅当 ( b是a的子集 )

后半部 ∀t( t∈b → t∈a ) 是子集的定义

对于所有t,(t属于b 一定有 t属于a) 所以b是a的子集  同b⊆a

将a的所有子集b1~bn装进p里,这个p称做a的幂集 

p= Powerset(a)={b:b⊆a}

例如{2,3}的幂集 { ∅ ,{2},{3},{2,3} }

a的各元素t自由组合成子集,n个元素集合的幂集有2的n次幂个元素 

【7】无穷公理:

∃s(∅∈s∧∀x(x∈s→(x∪{x})∈s))

可以用来构建自然数

存在某s(s中至少有空集)并且(x属于s 一定有 x和{x}的并集也属于s)

用元素x来递归创造无数元的集合s,(x∪{x})称为x的后继x+ 

x属于s,则x的后继也属于s,每个x都会对应一长串后继,这种s也叫归纳集

不是任何元素后继的元素就是初始元素

假设s中的初始非后继元素只有一个∅  这种s=ω 称做最小归纳集

那么∅就是起始元素 0=∅  1= ∅∪{∅}={∅} 

2={∅}∪{{∅}}={∅,{∅}}

3={∅,{∅}}∪{{∅,{∅}}}={∅,{∅},{∅,{∅}}}

这个ω可以用来象征自然数集合{0,1,2,3....}

3为2的后继  4为3的后继 ....

【8】替换公理模式:

∀x∃!y P(x,y) → ∀m∃n∀b(b∈n↔∃a(a∈m∧P(a,b)))

可以用P规则将a映射/替换为b

如果P为函数 则→(存在n以b为元素 当且仅当 (存在a使 a属于m 且 满足P(a,b)))

函数P在m限制下 P的定义域domP被m缩小 因为P的参数a只能在m中取值了 不再∀x。被缩小后的函数记做(P↑m) 函数(P↑m)的值域ran(P↑m) 称做P在m下的象

ran(P↑m)={b:∃a(a∈m∧P(a,b))}=n

公理声明:任意给定的集合m和函数P  P在m下的象一定存在且形成一集合n

前半部是对函数的筛选  ∃!y表示只存在一个y 

∀x∃!y P(x,y) 等价于 ∀x∃y( P(x,y)∧∀t(P(x,t)→t=y))

关系 P(x,t)对于某x 所有的t都只能等于y,t只有唯一对应。这样的关系 P(x,y) 叫做P函数。P关系与P函数的区别:每个参数x只对应出一个y,P为函数。每个参数x可对应出多个y,P为关系,关系大于且包括函数概念。

【9】正则公理:

∀s(∃a(a∈s)→ ∃a(a∈s∧∀t(t∈a→t∉s)))

可以用来去除一些无限套娃类的写法 

(对所有非空集合s 存在元素a)一定会→(存在元素a 而且 a与s交集为空) 

后半部 ∀t(t∈a→t∉s)等价于交集为空  

对任意t元素 t属于a 一定有 t不属于s 所以a和s无共同元素 a∩s=∅

前半部∃a有声明a元素存在,说明只讨论s不是空集的情况。也就是∶正则公理要求。非空s中要存在某元素与s自身交集为空。a称为s中的∈极小元,∈关系是良基的。极小元要求a只可以属于s中的其它元素 但不可以把s中的元素拿来给自己当元素。所以a和s无共同元素,a∩s=∅,这样就保证a是s中这些∈关系链的最底层,不会出现无限循环嵌套的情况。例如 s={s}={{s}},x∈y∈z∈x 之类的写法都和公理冲突

【10】选择公理:

∀x(∀a( a∈x→a≠∅)→∃f( Fun(f)∧∀a( a∈x→f(a)∈a)))

创造选择函数

(a在x中 一定致 a不为空)则→((存在 f为函数)且(x中的a 一定使 f(a)是a的元素))

Fun(f)是一个函数判断模块,当f是函数时 Fun(f)=真;f不是函数时,Fun(f)=假。x是一个由非空集合组成的集合 a是x中某个非空集。f(a)称做选择函数 f(a)可以选取a中的某个元素。选择公理宣称 对于非空集的选择函数一定存在。通常一个无限的,元素没有识别特征的集合 靠枚举和特征公式都选不出元素来,只能随机选取一个 但数学是用严格的逻辑和演绎来搭建的,无法产生真正的随机,所以这个公理假装随机是存在的。这个公理不是公理模式和替换公理不同 所以模块Fun(f)的内部结构会复杂一些。

Fun(f)⇔∀t(t∈f → (∃m∃n(t=<m,n>) ∧ ∀m(m∈dom(f)→∃!n(<m,n>∈f)) ))

t满足f 则→( (存在有序对<m,n>=t)并且(对任意f定义域中的m→只有1个值n满足f))

一个定义域中的m只对应一个值域中的n 正是函数的定义

其中f的定义域 dom(f)模块的内部结构: 

dom(f)⇔{ m: ∃n(<m,n>∈f) }    另外值域ran(f)⇔{ n: ∃m(<m,n>∈f) } 

<m,n> <x,y>之类表示有序对 有序对也是亠种特殊的集合 元素之间有顺序

<m,n> ≠ <n,m>  而无序对 {m,n}={n,m} 

有序对可以转化为普通集合的写法: <m,n>={{m},{m,n}}

其中一个元素是另一个元素的子集 这样两个元素的先后顺序就被记录下来了

另外函数f和关系f也都是一种集合  f是一种以有序对为元素的集合

例如 f={<x1,y1>, <x2,y4>, <x3,y1>, <x4,y2>.......}

f中记录了每个x与y的映射关系

x1~xn 全在定义域集合domf中  y1~ym 全在值域集合ranf中

f(x)是求f中x的对应值 f(x)=y

公理中的<m,n>∈f写法 就表示m和n是满足f的一对组合

x