(1) 外延公理（容积公理）：一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有的元素相同，则它们是相等的。

(2)分离公理模式：“对任意集合X和任意对X的元素有定义的逻辑谓词P(z)，存在集合Y，使z∈Y 当且仅当z∈X而且P(z)为真”也就是说：若X是一个集合，那么可以断定，Y={x∈X|P（x）}也是一个集合。

(3)配对公理：对任意a和b是对象，则存在一个集合{a，b}，其仅有的元素是a和b。也就是说：我们可以用一个集合Z={X,Y}来表示任给的两个集合X,Y，称之为X与Y的无序对。

(相关资料图)

(4)并集公理：任给一族M，存在UM（称为M的并）它的元素恰好为M中所含元素的元素。也就是说：我们可以把族M的元素的元素汇集到一起，组成一个新集合。注：为了方便描述，定义族表示其元素全为集合的集合。

(5)幂集公理(子集之集公理)：对任意集合X，存在集合P（X），它的元素恰好就是X的一切子集。也就是说：存在以已知集合的一切子集为元素的集合。

(6)无穷公理：存在归纳集。（存在一个集合，空集是其元素，且对其任意元素x，x+=x∪{x}也是其元素）也就是说，存在一集合x，它有无穷多元素。

(7)替换公理模式（置换公理）：也就是说，对于任意的函数F（x），对于任意的集合T，当x属于T时，F（x）都有定义（ZF中唯一的对象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合S，使得对于所有的x属于T，在集合S中都有一元素y，使y=F（x）。也就是说，由F（x）所定义的函数的定义域在T中的时候，那么它的值域可限定在S中。

(8)正则公理：也叫基础公理。所有集都是良基集。说明一个集合的元素都具有最小性质，例如，不允许出现x属于x的情况。准确的定义：“对任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y为空集。”以上8条公理组成了ZF公理系统，再加上选择公理，则组成了ZFC公理系统

(9)选择公理：也叫策梅洛公理，对于任意两两不交的集合族，存在集合C，使对所给的族中的每个集合X，集合X与C的交恰好只含一个元素

以上为ZF集合论中的各种公理

集合{}符号

给定任何集合A和任何集合B，A=B，当且仅当【给定任何集合中的元素x，x∈A当且仅当x∈B。】（这里的x是集合不是本质性的，但在ZF中所有东西都是集合

集合１　＝　{ 集合２，集合３, ...}

例如　r　＝　{　{ },　{{ }},　{{ },{{ }}}　}

zf里只有空集和嵌套空集　其它集合均为各种空集的编号

a={∅}=1　　b={{∅}}={1}=2　　c={{∅},{{∅}}}={1,2}=3

r={1,2,3}={{∅},{{∅}},{{∅},{{∅}}}}

∈符号

集合S∈集合T

a∈b　ａ属于ｂ　集合a是集合b中的一个元素/子集

其它符号如∪，⊆，＝……之类，由上面2个原始符号用公理推导出

ZFC集合论公理

【１】外延公理：

∀ａ∀ｂ(∀ｔ(ｔ∈ａ↔ｔ∈ｂ)→ａ＝ｂ　)

构建等号　＝

（t属于a　当且仅当　t属于b）　所以　a＝b

ｔ在ａ中绑定ｔ在ｂ中，则ａ和ｂ的元素相同

【２】空集存在公理：

∃s∀ａ(ａ∉s)

s＝∅　构建空集

对于所有可能的a　a全都不属于是，s存在

所以r只能是空集

【３】无序对集存在公理：

∀ａ∀ｂ∃s∀ｔ(ｔ∈s↔(ｔ=ａ∨ｔ=ｂ))

构建不超过二元的无序集

(　存在s 以t为元素　)　当且仅当　(　t是a或者b　)

t在s里面，且a，b只能二选一　s当然只有2个元素

其中　s={a,b}　二元集合

一元：a=b时　s={a}

拿到上面新做好的空集∅

假设1　a=b=∅，S1={a}={∅}

假设2　a=∅，b= S1={∅}，S2={a,b}={∅,{∅}}

重复假设1可得无数个一元集合　{∅}，{{∅}}，{{{∅}}}　.....

重复假设2可得无数个二元集合　{∅,{∅,{∅}}}，{{∅,{∅}},{∅}}　......

【４】并集存在公理：

∀ａ∃ｂ∀ｘ(ｘ∈ｂ↔∃ｙ(ｘ∈ｙ∧ｙ∈ａ))

构建∪符号

存在b以x为元素当且仅当存在y 以x为元素并且y属于a　

a的元素的元素是x，单独考察某个a。对于某ａ∃b和∃y是有些区别，ｙ被y∈a所限制，ｙ的个数＝某ａ的元素个数y1～yn每个y对应一些元素ｘ，而ｂ没有被限制。无论假设几个ｂ，ｂ的元素都是一样的。所以ｂ是唯一的，ｂ的元素是所有ｘ

例如　y1={x1,x2}　y2={x3,x4}　a={y1,y2}={ {x1,x2},{x3,x4} }

所以b={x1,x2,x3,x4}

写法∶广义并：b＝∪a，b＝∪{y1,y2}，常规并：b＝y1∪y2

建造完∪，就可以用之前的二元集合来创建二元以上的多元集合{x1,x2,x3,x4.....}

【５】子集公理｜分离公理模式：

∀ａ∃s∀ｘ(ｘ∈s↔ｘ∈ａ∧Ｐ(ｘ))

用关系公式Ｐ表示集合，存在s以x为元素，当且仅当ｘ属于ａ并且ｘ满足Ｐ条件 ，ｘ是ａ中所有满足Ｐ条件的元素　由于是充要推导　所以ｘ也都属于s，s是ａ的子集　用Ｐ条件从ａ里分离出来

如此得到新的集合表示方法　ｒ＝｛ｘ：Ｐ(ｘ)∧（ｘ∈ａ）｝，ａ可以是任意集合

ｘ∈ａ可以隐含在Ｐ(ｘ)里　ｒ＝｛ｘ：Ｐ(ｘ)｝

例如交集，并集的定义

｛ｘ：ｘ∈ｄ　∧ｘ∈ｃ　｝＝　ｃ∩ｄ

｛ｘ：ｘ∈ｄ　∨ｘ∈ｃ　｝＝　ｃ∪ｄ

【６】幂集公理：

∀ａ∃ｐ∀ｂ(ｂ∈ｐ↔∀ｔ(ｔ∈ｂ→ｔ∈ａ))

构建幂集，(存在p 以b为元素)　当且仅当　(　b是a的子集　)

后半部　∀t(　t∈b　→　t∈a　)　是子集的定义

对于所有t，（t属于b　一定有　t属于a）　所以b是a的子集　 同b⊆a

将ａ的所有子集b１～ｂｎ装进ｐ里，这个ｐ称做ａ的幂集　

ｐ＝　Powerset（ａ）＝｛ｂ：ｂ⊆ａ｝

例如｛2，3｝的幂集　｛　∅　，｛２｝，｛３｝，｛２，３｝　｝

ａ的各元素ｔ自由组合成子集，ｎ个元素集合的幂集有２的ｎ次幂个元素　

【７】无穷公理：

∃ｓ（∅∈ｓ∧∀ｘ（ｘ∈ｓ→（ｘ∪｛ｘ｝）∈ｓ））

可以用来构建自然数

存在某ｓ（ｓ中至少有空集）并且（ｘ属于ｓ　一定有　ｘ和｛ｘ｝的并集也属于ｓ）

用元素ｘ来递归创造无数元的集合ｓ，（ｘ∪｛ｘ｝）称为ｘ的后继ｘ＋　

x属于ｓ，则ｘ的后继也属于ｓ，每个ｘ都会对应一长串后继，这种ｓ也叫归纳集

不是任何元素后继的元素就是初始元素

假设ｓ中的初始非后继元素只有一个∅　　这种ｓ＝ω　称做最小归纳集

那么∅就是起始元素　０＝∅　　１＝　∅∪｛∅｝＝｛∅｝　

２＝｛∅｝∪｛｛∅｝｝＝｛∅，｛∅｝｝

３＝｛∅，｛∅｝｝∪｛｛∅，｛∅｝｝｝＝｛∅，｛∅｝，｛∅，｛∅｝｝｝

这个ω可以用来象征自然数集合｛０，１，２，３．．．．｝

３为２的后继　　4为3的后继　．．．．

【８】替换公理模式：

∀x∃!y Ｐ(x,y) → ∀m∃n∀b（ｂ∈ｎ↔∃ａ（ａ∈ｍ∧Ｐ(a,b)））

可以用Ｐ规则将ａ映射／替换为ｂ

如果P为函数 则→(存在n以b为元素　当且仅当 (存在a使 a属于m　且　满足P(a,b)))

函数P在m限制下　P的定义域domP被m缩小　因为P的参数a只能在m中取值了 不再∀x。被缩小后的函数记做(P↑m)　函数(P↑m)的值域ran(P↑m)　称做P在m下的象

ran(P↑m)＝{b:∃a(a∈m∧P(a,b))}＝ｎ

公理声明：任意给定的集合ｍ和函数Ｐ　　P在m下的象一定存在且形成一集合ｎ

前半部是对函数的筛选　　∃!y表示只存在一个ｙ　

∀x∃!y P(x,y)　等价于　∀x∃y（　P（x,y）∧∀t（P（x,t）→ｔ＝ｙ））

关系 P（x,t）对于某ｘ　所有的ｔ都只能等于ｙ，ｔ只有唯一对应。这样的关系　P（x,y）　叫做Ｐ函数。Ｐ关系与Ｐ函数的区别：每个参数ｘ只对应出一个ｙ，Ｐ为函数。每个参数ｘ可对应出多个ｙ，Ｐ为关系，关系大于且包括函数概念。

【9】正则公理：

∀ｓ（∃ａ（ａ∈ｓ）→　∃ａ（ａ∈ｓ∧∀ｔ（ｔ∈ａ→ｔ∉ｓ）））

可以用来去除一些无限套娃类的写法　

（对所有非空集合s　存在元素a）一定会→（存在元素a　而且　a与s交集为空）　

后半部　∀ｔ（ｔ∈ａ→ｔ∉ｓ）等价于交集为空　　

对任意t元素　t属于a　一定有　t不属于s　所以a和s无共同元素　a∩s＝∅

前半部∃ａ有声明ａ元素存在，说明只讨论ｓ不是空集的情况。也就是∶正则公理要求。非空ｓ中要存在某元素与ｓ自身交集为空。ａ称为ｓ中的∈极小元，∈关系是良基的。极小元要求ａ只可以属于ｓ中的其它元素　但不可以把ｓ中的元素拿来给自己当元素。所以a和s无共同元素，a∩s＝∅，这样就保证ａ是ｓ中这些∈关系链的最底层，不会出现无限循环嵌套的情况。例如　ｓ＝｛ｓ｝＝｛｛ｓ｝｝，ｘ∈ｙ∈ｚ∈ｘ　之类的写法都和公理冲突

【10】选择公理：

∀x(∀a( a∈x→a≠∅)→∃f( Fun(f)∧∀a( a∈x→f(a)∈a)))

创造选择函数

(a在x中 一定致 a不为空)则→((存在 f为函数)且(x中的a 一定使 f(a)是a的元素))

Fun(f)是一个函数判断模块，当ｆ是函数时　Fun(f)=真;ｆ不是函数时，Fun(f)=假。ｘ是一个由非空集合组成的集合　ａ是ｘ中某个非空集。f(a)称做选择函数　f(a)可以选取ａ中的某个元素。选择公理宣称　对于非空集的选择函数一定存在。通常一个无限的，元素没有识别特征的集合　靠枚举和特征公式都选不出元素来，只能随机选取一个　但数学是用严格的逻辑和演绎来搭建的，无法产生真正的随机，所以这个公理假装随机是存在的。这个公理不是公理模式和替换公理不同　所以模块Fun(f)的内部结构会复杂一些。

Fun(f)⇔∀t(t∈f →　(∃m∃n(t=<m,n>) ∧ ∀m(m∈dom(f)→∃!n(<m,n>∈f)) ))

t满足f 则→(　(存在有序对<m,n>=t)并且(对任意f定义域中的m→只有1个值n满足f))

一个定义域中的ｍ只对应一个值域中的ｎ　正是函数的定义

其中ｆ的定义域　dom(f)模块的内部结构:　

dom(f)⇔{ m: ∃n(<m,n>∈f) }　　　　另外值域ran(f)⇔{ n: ∃m(<m,n>∈f) }　

<m,n>　<x,y>之类表示有序对　有序对也是亠种特殊的集合　元素之间有顺序

<m,n> ≠ <n,m>　　而无序对　{m,n}＝{n,m}　

有序对可以转化为普通集合的写法:　<m,n>＝{{m},{m,n}}

其中一个元素是另一个元素的子集　这样两个元素的先后顺序就被记录下来了

另外函数ｆ和关系ｆ也都是一种集合　　ｆ是一种以有序对为元素的集合

例如　ｆ＝｛<x1,y1>, <x2,y4>, <x3,y1>, <x4,y2>.......｝

f中记录了每个x与y的映射关系

x1～xn 全在定义域集合domf中　　y1～ym 全在值域集合ranf中

f(x)是求f中ｘ的对应值　f(x)=y

公理中的<m,n>∈f写法　就表示ｍ和ｎ是满足ｆ的一对组合